2010/03/31 15:20

천칭 문제 하나 잡담

미니 게임으로 자주 애용되는 문제 가운데 하나가 천칭을 이용한 구슬/동전 찾기 문제이다.

구슬이나 동전 등이 여러 개 있고, 그 중 하나가 무게가 가볍거나 무겁다. 천칭을 몇 번 이내로 사용해서 이 구슬이나 동전을 찾는 문제.


무게의 차이를 알고 있는 경우, 그러니까 무겁다거나 가볍다는 사실을 알고 있을 경우에는 아주 쉽다. 이론적으로 천칭을 1회 사용할 때 3개의 물체를 판별(?)할 수 있고, 이를 기준으로 천칭의 회수로 제곱한 개수까지 찾을 수 있다. 천칭 2회는 9개, 천칭 3회는 27개 하는 식으로.

여기서 난이도를 더 높인 것이 바로 "무게를 모르는 경우"이다. 구슬/동전 가운데 하나가 무게가 다른데, 무거운지 가벼운지를 모른다. 다만 다르다는 사실만 안다. 이 경우, 천칭을 1회 사용하는 조건에서는 절대 찾아낼 수 없다. (물론, 우연의 힘을 빌린다면 가능하긴 하다. 3개 중 2개를 달았는데 무게가 같다고 나온다면... ㅡㅡ;;;)


내가 중학생이던 시절, 누가 낸 것인지는 기억나지 않지만 아주 어려운 천칭 문제가 등장한 적이 있다. 반 전체가 도전했지만 푸는데 실패했고, 나를 포함한 5명 정도의 무리가 자그마치 2박 3일 동안 매달린 끝에 간신히 풀었다. 내가 제공한 아이디어가 30% 정도 기여(?)를 했고, 그것을 토대로 다른 친구들이 머리를 싸맨 끝에 풀이를 찾아냈던 것이다.


오늘 갑자기 그 문제가 생각이 났다. 그래서 한 번 이글루스 제현들에게 도전장(?)을 던져 보는 바이다.



구슬의 개수는 12개. 1개의 구슬이 무게가 다르다. (가벼운지 무거운지는 모름) 천칭을 3회 사용해서 다른 구슬을 찾아 보시길.


힌트 : 이 글에 내가 기여했던 30% 정도의 아이디어가 포함되어 있음.


일단 수학 문제에 가까우니 과학 밸리로... ㅎㅎㅎ

덧글

  • 천하귀남 2010/03/31 15:33 # 답글

    천칭 한번으로 3개까지 잴수 있다는 것이 핵심!
  • 야스페르츠 2010/03/31 15:37 #

    정답.... 이긴 한데 그게 다가 아니잖음? ㅎㅎㅎ
  • 천하귀남 2010/03/31 16:29 #

    윽 생각외로 복잡하군요. ^^;
  • rumic71 2010/03/31 15:33 # 답글

    우선 반으로 나누어 (6개) 무게 차이 나는 그룹을 선정 - 그 그룹을 또 반으로 나누어(3개) 차이나는 그룹을 선정-3개중 2개를 달아보아 차이나는 쪽. 똑같으면 나머지 1개.
  • rumic71 2010/03/31 15:33 #

    허걱 한번에 3개까지라면 전혀 다른 로직이 필요할듯.
  • 야스페르츠 2010/03/31 15:38 #

    바로 그 함정에 빠져서 다른 친구들은 모두 나가 떨어졌지요. 그 함정에서 빠져나올 힌트는 이 글 속에 있습니다. ㅎㅎ
  • 야스페르츠 2010/03/31 15:39 #

    아, 그리고 한 번에 달 수 있는 개수는 "당연히" 제한이 없어요. ㅎㅎ
  • 2010/03/31 16:05 # 답글 비공개

    비공개 덧글입니다.
  • 야스페르츠 2010/03/31 16:18 #

    네 그렇습니다. ^^
  • 2010/03/31 16:11 # 답글 비공개

    비공개 덧글입니다.
  • 야스페르츠 2010/03/31 16:19 #

    어라?? rumic71님 방법으로는 풀 수가 없어요. 무게를 모르기 때문에 반씩 나눠서 재게 되면 어느 쪽에 있는지를 알 수가 없거든요.
  • 한단인 2010/03/31 16:27 # 답글

    아.. 이거 가벼운지, 무거운지 알수 없다는 제한만 아니면 대번에 풀겠는데...

    되게 어렵군요. 이거... 맨 처음에는 저도 루믹님 방법을 쓰려다가 같은 이유로 망했...
  • 야스페르츠 2010/03/31 16:31 #

    그 제한이 없으면 최대 27개의 구슬에서 1개도 찾아낼 수 있습니다. ㅎㅎ
  • 2010/03/31 16:42 # 답글 비공개

    비공개 덧글입니다.
  • 야스페르츠 2010/03/31 16:46 #

    거의 맞췄습니다. 하지만, 가정한 상태에서 대칭일 경우에 무게는 확정이 되지만 1번으로 4개를 재서 구분할 수가 없습니다. 무게를 알 경우 1번에 재서 알 수 있는 최대 개수는 3개까지거든요.
  • 기니만 2010/03/31 18:21 #

    대칭일 경우 다시 "기준집단" 방식으로 하나 선택해서 재면 됩니다. 기울어지면 그게 답. 안기울어지면 선택 안한게 답.
  • 야스페르츠 2010/03/31 18:27 #

    무겁다는 것은 확정되었지만, 기회가 1번 밖에 남지 않잖아요. 그럴 경우 3개를 넘어가게 되면 천칭으로는 구분이 불가능합니다.
  • 미스트 2010/03/31 17:22 # 답글

    그냥 3개씩 네 덩이로 나눠서 하면 되네요.
  • 야스페르츠 2010/03/31 17:33 #

    그렇게는 절대 풀 수 없어효.. ㅡㅡ;; 모든 경우의 수가 다 해결되어야죠.
  • 미스트 2010/03/31 18:17 #

    음 그러네요.
    첫 번째 두 번째 모두 수평을 유지하면 무게가 다른 '그룹'은 알아낼 수 있는데 어느 구슬이 무게가 다른가에서 막히는군요. =ㅅ=;;;
  • 2010/03/31 17:49 # 삭제 답글 비공개

    비공개 덧글입니다.
  • 야스페르츠 2010/03/31 18:14 #

    332가 무슨 말씀이신지... 그렇게 해서는 힘들 것 같네요. ^^;;
  • 2010/03/31 17:52 # 답글 비공개

    비공개 덧글입니다.
  • 야스페르츠 2010/03/31 18:15 #

    문제는 무게를 모르기 때문에 4개 무더기 1개를 찾지 못할 수가 있거든요. ㅎㅎ
  • 2010/03/31 18:00 # 답글 비공개

    비공개 덧글입니다.
  • 야스페르츠 2010/03/31 18:15 #

  • 2010/03/31 18:07 # 답글 비공개

    비공개 덧글입니다.
  • 야스페르츠 2010/03/31 18:16 #

    6개씩 올려 놓으면 기울기가 변하고, 거기서 3개씩 교환해도 변하는 건 같지요. 기우는 방향이 변해도, 그것으로 2번의 기회를 썼으니 1번만에 찾기란 불가능...ㅡㅡ;;
  • 2010/03/31 18:08 # 답글 비공개

    비공개 덧글입니다.
  • 야스페르츠 2010/03/31 18:14 #

    정답입니다. 짝짝짝 ㅎㅎㅎ
  • 초록불 2010/03/31 18:45 #

    상품은 없나요... (먼산)
  • 야스페르츠 2010/03/31 19:05 #

    존경과 사랑을 담아 윙크를 보냅니다. (도주)
  • 우루사 2010/03/31 18:12 # 삭제 답글

    비공개의 향연...
    답은 같이 공유하자구요!
  • 야스페르츠 2010/03/31 18:16 #

    ㅋㅋㅋㅋ
  • 천하귀남 2010/03/31 18:12 # 답글

    정리한다면 정상무게인 구슬이 있고 무계를 모르는 구슬 6개가 있다면 2번만에 구분해 낼수 있군요.
  • 야스페르츠 2010/03/31 18:23 #

    아닐 듯... ㅡㅡ;;;
  • 천하귀남 2010/03/31 18:18 # 답글

    일단 좌우 3개씩 측정합니다. 기울던지 아니던지 50%확률입니다.
    기울면 저울에 올라가지 않은 6개는 정상입니다.
    저울위의 6개중 양쪽에서 각각 1개를 뺍니다. 양쪽에서 1개는 교환합니다. 이럴때 평형이 되면 빼낸두개중 하나가 불량, 좌우가 바뀌면 바꾼2개중 하나가 불량 그대로면 바꾸지않은 두개중 하나가 불량입니다.

    불량추정 두개중 하나를 정상구슬 하나와 비교해서 평형이면 남은 하나가 불량 기울면 정상아닌 구슬이 불량이죠
    처음에 수평이 맞으면 남은 6개가 불량입니다. 위에서 처럼 두번만에 측정 가능할듯...
  • 야스페르츠 2010/03/31 18:25 #

    1회에서 수평이 안맞을 경우에는 맞습니다. 그런데 수평이 맞을 경우에 두번 만에 6개의 측정은 불가능합니다.
  • 2010/03/31 21:28 # 답글 비공개

    비공개 덧글입니다.
  • 야스페르츠 2010/03/31 23:06 #

    정답입니다. 제가 풀었던 것과 아주 약간은 다르지만 일단 정답이네요. ^^;;
  • 한단인 2010/03/31 21:31 # 답글

    헐.. 정답을 맞추신 분이 초록불님 한분밖에 없으신 검미?
  • 야스페르츠 2010/03/31 23:06 #

    방금 한 분 추가입니다. ㅋㅋㅋ
  • 2010/03/31 23:08 # 답글 비공개

    비공개 덧글입니다.
  • 야스페르츠 2010/03/31 23:12 #

    정답입니다. 제가 푼 것보다 더 쉽게 푸셨네요. ㅎㅎ
  • blesshy 2010/03/31 23:12 #

    생각하면 간단한걸 2시간이나 고민했네요;;;
    역시 관건은 천칭의 결과를 어떻게 3분류로 나눌 것인가가 관건이군요.
  • 현암 2010/03/31 23:38 # 답글

    오오 오랜만에 머릴 쓰게 되는군요.... 랄까 내일까지 어떻게든 풀어보겠습니다
  • 야스페르츠 2010/04/01 15:34 #

    ^^
  • 훗.. 2010/04/01 00:26 # 삭제 답글

    이걸 풀 수있는 두뇌를 가진들.. 그의 인기를 뛰어넘을 수는 없단 말이다...
  • 야스페르츠 2010/04/01 15:34 #

    난 너만 있으면 돼.
  • 2010/04/01 01:15 # 답글 비공개

    비공개 덧글입니다.
  • 야스페르츠 2010/04/01 15:35 #

    일단 B의 경우에서 천칭의 사용이 좀 편법인 것 같습니다. 그렇게 하지 않아도 가능합니다.
  • 하늘나늬 2010/04/01 09:46 # 삭제 답글

    이 포스팅을 보니 예전 대항해시대 3에서 천칭 문제가 생각나네요.
    이집트였나 지중해였나 발견물이었는데... 이런 문제를 풀어야 발견이 가능했지요.
    어떤땐 풀리고 어떤땐 안풀려서 세이브 로드 노가다를... 하하하;;

    문제는 안풀고 뻘덧글만 달았군요
  • 야스페르츠 2010/04/01 15:36 #

    저도 그 문제가 생각이 나서 포스팅 해 본 겁니다. 저는 중학교 때 이 문제를 풀었기 때문에 대항해시대에서 문제를 푸는데 아무 문제가 없었지요. 후하하하
  • 어렵네요 2010/04/01 11:45 # 삭제 답글

    1감으로 떠오는 생각은

    먼저 4개씩 3개의 그룹으로 나누고요 이중 2개의 그룹을 천칭으로 측정합니다.
    평행이면 나머지 4개에서 2번의 측정으로 찾아내면 되고요
    기울면 측정했던 2개의 그룹에서 3개씩 꺼내 마킹을 합니다.
    그리고 그 6개를 정상인 6개의 공과 측정을 해서 평행이면 나머지 2개에서 찾으면 되고요
    아래로 기울면 아래쪽에 있었던 3개의 공에서 무거운 공 하나를 찾으면 되고
    위로 기울면 위에 있었던 3개의 공에서 가벼운 공을 찾으면 되지요

    그런데 이렇게 쉽게 풀릴게 아니네요. 정상인 공 6개를 구할 수 없네요

    다들 어떻게 푼 건지 ㅜㅜ
  • blesshy 2010/04/01 13:19 #

    '마킹'을 한다는 생각을 하셨다면 거의 제가 푼 방식에 근접하신겁니다!
  • 야스페르츠 2010/04/01 15:37 #

    마킹이라는게 그렇게 어려운 개념인가요? 마킹 같은 것을 따지는 게 아니라 그냥 기억하고만 있어도 되는 것이잖아요. ^^
  • blesshy 2010/04/01 18:34 #

    중요한건 구슬에 '정보'를 부여한다는 거죠 ^^/
  • 2010/04/01 17:21 # 답글 비공개

    비공개 덧글입니다.
  • 야스페르츠 2010/04/01 20:19 #

    정답입니다. ㅎㅎ
  • 2010/04/01 20:48 # 답글 비공개

    비공개 덧글입니다.
  • puzzlist 2010/04/01 23:11 # 삭제 답글

    가장 통일적이면서 일반적인 방법은 3-ary gray code를 이용하는 방법이지요. 이 관점에서 보면 저울질 n 번에 (3^n-3)/2 개의 구슬 가운데 무게가 다른 하나를 골라낼 수 있고 그 구슬이 다른 것보다 무거운지 가벼운지까지 알아낼 수 있습니다.
    어떻게 하면 되는지는 제 책을 참고.... (쿨럭)
  • 야스페르츠 2010/04/02 13:56 #

    책도 있으세요?!? 뭔가 대단.... ^^;;
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